Les critères de divisibilité sont des règles qui permettent dedéterminer rapidement si un nombre entier (un nombre sans décimaleni fraction) est divisible par tel ou tel chiffre ou nombre. En d’autres termes, ils permettent de savoirsi un nombre est le multiple d’un chiffre ou d’unautre nombre. Le résultat de cette division, le quotient (le résultat), doit être lui-même unnombre entier.
0 est divisible par tous les nombres.
Critère de divisibilité par 2 : si le nombreest pair. Cela signifie que le chiffre des unitésdoit être pair, c’est-à-dire 0, 2, 4, 6 ou 8 (par exemple, lechiffre des unités de 48 est 8).
- Exemple : 48est une chiffre pair. Il est donc un multiple de 2.
- 48 ÷ 2 = 24
Critère de divisibilité par 3 : la somme deschiffres qui composent le nombre est un multiple de 3 (divisiblepar 3).
- Exemple : 1962est un multiple de 3 parce que la somme des chiffres qui composentce nombre est un multiple de 3.
- 1 + 9 + 6 + 2 = 18
- 18 ÷ 3 = 6.
Critère de divisibilité par 4 : les deuxchiffres de droite d’un nombre entier supérieur ou égal à 100forment un multiple de 4.
- Exemple : 260est un multiple de 4.
- 60 est en effet un multiple de 4.
- 60 ÷ 4 = 15
Les nombres en 00 sont tous divisibles par 4 (ainsi que par 2,par 5, par 10, par 100).
Critère de divisibilité par 5 :le nombrese termine par 0 ou 5.
- Exemple : 1555est un multiple de 5.
- 1555 ÷ 5 = 311.
Critère de divisibilité par 6 : le nombre esten même temps un multiple de 2 et de 3.
- Exemple : 198est un multiple de 6 parce qu’il est divisible par 2 et 3 à lafois.
- 198 est divisible par 2 car c’est un chiffre pair (cela donne99), et par 3 parce que la somme de 198, qui donne 18, estdivisible par 3 (cela donne 6).
Critère de divisibilité par 7 :
➢ Technique 1 : le nombre de dizaines quecontient le nombre (672 contient par exemple 67 dizaines)additionné au chiffre des unités multiplié par 5 (le chiffre desunités de 672 est 2) est divisible par 7.
- Exemple : 672est un multiple de 7.
- Le nombre de dizaines, 67, plus le chiffre des unités multipliépar 5, c’est-à-dire 10 (2 × 5), donne 77.
- 77 ÷ 7 = 11
Cette technique fonctionne plus difficilement avec les grandsnombres. La technique 2 est plus adaptée.
➢ Technique 2 : on supprime le dernier chiffredu nombre, puis on soustrait au nombre restant le chiffre supprimémultiplié par 2. On répète l’opération jusqu’à obtenir un nombre àmoins de 3 chiffres.
- Exemple : 59983 est un multiple de 7.
- 59 98
3 - 5998 – 3 × 2 = 5992
- 599
2 - 599 – 2 × 2 = 595
- 59
5 - 59 – 5 × 2 = 49
- 49 ÷ 7 = 7
Critère de divisibilité par 8 :
➢ Technique 1 : un nombre est un multiple de 8si l’on obtient un nombre entier après trois divisions par 2. Lesmultiples de 2 sont forcément pairs, et donc ceux de 8 aussi.
- Exemple : 832est un multiple de 8.
- 832 ÷ 2 = 416
- 416 ÷ 2 = 208
- 208 ÷ 2 = 104
- 832 divisé par 8 est égal à 104.
- Exemple 2 :666 n’est pas un multiple de 8.
- 666 ÷ 2 = 333
- 333 ÷ 2 = 166,5
- On obtient un nombre à décimale dès la deuxième division.
Cette technique est plus difficile à appliquer pour les grandsnombres. La technique 2 permet de pallier ce problème.
➢ Technique 2 : un grand nombre est un multiplede 8 quand ses trois chiffres de droite forment un multiple de8.
- Exemple : 59648 est un multiple de 8.
- 648 est en effet un multiple de 8.
- 648 ÷ 2 = 324
- 324 ÷ 2 = 162
- 162 ÷ 2 = 81
- 81 est un nombre entier. Donc 648 est un multiple de 8, et donc59 648 est un multiple de 8.
Critère de divisibilité par 9 : la somme deschiffres qui composent le nombre est un multiple de 9. Lesmultiples de 9 sont aussi des multiples 3.
- Exemple 1 :513 est un multiple de 9.
- 5 + 1 + 3 = 9
- 9 ÷ 9 = 1
- Exemple 2 :7866 est un multiple de 9.
- 7 + 8 + 6 + 6 = 27
- 27 ÷ 9 =3
Critère de divisibilité par 10 : le nombre setermine par 0 (il est aussi divisible par 2 ou 5).
- Exemple : 160est un multiple de 10. Il se termine par un 0.
Critère de divisibilité par 11 :
➢ Technique 1 : la somme des chiffres situésaux positions impaires (en partant de la droite) – moins – la sommedes chiffres situés aux positions paires, est divisible par 11.
- Exemple 1 :902 est un multiple de 11.
- La somme des chiffres situés aux positions impaires, 2(position 1) et 9 (position 3), donne 11.
- Le chiffre pair unique correspond à 0.
- 11 – 0 = 11.
- 11 est bien sûr un multiple de 11.
- Exemple 2 :594 est un multiple de 11.
- La somme des chiffres situés aux positions impaires, 4 et 5,donne 9.
- Le chiffre pair unique correspond à 9.
- 9 – 9 = 0.
- 0 est divisible par tous les nombres, 594 est donc biendivisible par 11.
➢ Technique 2 : on peut aussi supprimer ledernier chiffre d’un nombre, puis soustraire au nombre restant cechiffre supprimé, jusqu’à obtenir un nombre à moins de 3 chiffres.Si celui-ci est un multiple de 11, alors le nombre de départ est unmultiple de 11.
- Exemple : 10615 est un multiple de 11.
- 1061 – 5 = 105
6 - 105 – 6 = 99
- 99 est un multiple de 11, donc 10 615 est un multiple de11.
Critère de divisibilité par 12 :le nombreest en même temps un multiple de 3 et de 4.
- Exemple : 1028 376 est un multiple de 12.
- La somme des chiffres qui composent le nombre est multiple de3.
- 1 + 0 + 2 + 8 + 3 + 7 + 6 = 27
- 27 ÷ 3 = 9
- Les deux chiffres de droite forment un nombre multiple de 4.
- 76 ÷ 4 = 19
Critère de divisibilité par 13 : on soustraitet additionne alternativement les nombres trois par trois. Si lerésultat est un multiple de 13, alors le nombre de départ est unmultiple de 13.
- Exemple 1 : 16312 257 est un multiple de 13
- 257 – 312 + 16 = -39
- -39 ÷ 3 = -13
- Exemple 2 : 77230 803 est un multiple de 13.
- 803 – 230 + 77 = 650
- 650 ÷13 = 50
Critère de divisibilité par 14 : le nombre esten même temps un multiple de 2 et de 7.
- Exemple : 966est un multiple de 14.
- C’est un multiple de 2 car il est pair.
- C’est un multiple de 7 car le nombre de dizaines (96) multipliépar le chiffre des unités multiplié par 5 (6 × 5 = 30) est unmultiple de 7.
- 96 + 6 × 5 = 96 + 30 = 126
- 126 ÷ 7 = 18
Critère de divisibilité par 15 : le nombre esten même temps un multiple de 3 et de 5.
- Exemple : 144810 est un multiple de 15.
- C’est un multiple de 3 car la somme des trois chiffres dedroites est un multiple de 3.
- 8 + 1 + 0 = 9
- 9 ÷ 3 = 3.
- C’est un multiple de 5 car ce nombre se termine par 0.
Critère de divisibilité par 16 :le nombreissu de 4 division par 2 doit être un nombre entier. Pour lesnombres les plus grands, il suffit de prendre les 4 dernierschiffres.
- Exemple 1 :192 est un multiple de 16.
- 192 ÷ 2 = 96
- 96 ÷ 2 = 48
- 48 ÷ 2 = 24
- 24 ÷ 2 = 12
- Exemple 2 : 1531 920 est un multiple de 16.
- 1920 ÷ 2 = 960
- 960 ÷ 2 = 480
- 480 ÷ 2 = 240
- 240 ÷ 2 = 120
- Puisque 1920 est un multiple de 16, alors 1 531 920 est unmultiple de 16.
Critère de divisibilité par 17 :onsupprime le dernier chiffre du nombre, on le multiplie par 5 et onsoustrait ce produit du nombre restant. Si le résultat de cettedifférence est un multiple de 17, alors le nombre de départ est unmultiple de 17. Si le nombre est trop grand, on peut répéterl’opération.
- Exemple : 1105est un multiple de 17
- 110 – 5 × 5 = 85
- 85 ÷ 17 = 5
Critère de divisibilité par 18 :le nombreest pair et la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Exemple : 1728est un multiple de 18.
- 1728 est pair.
- La somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- 1 + 7 + 2 + 8 = 18
- 18 ÷ 2 = 9
Critère de divisibilité par 19 :onsupprime le dernier chiffre du nombre, on le multiplie par 2 et onadditionne ce produit au nombre restant. Si le résultat de cettedifférence est un multiple de 19, alors le nombre de départ est unmultiple de 19. Si le nombre est trop grand, on peut répéterl’opération.
- Exemple :12388 est un multiple de 19.
- 1238 + 8 × 2 = 1254
- 125 + 4 × 2 = 133
Critère de divisibilité par 20 :les deuxderniers chiffres sont des multiples de 20. Les multiples de 20sont toujours des chiffres ronds.
- Exemple :13040 est un multiple de 20.
- 40 est un multiple de 20.
Critère de divisibilité par 22 : le nombre estpair, et le résultat de soustractions et additions alternativesdoit être un multiple de 11 ou 0.
- Exemple 1 :1430 est un multiple de 22.
- 1 – 4 + 3 – 0 = 0
- Exemple 2 :21230 est un multiple 22.
- 2 – 1 + 2 -3 + 0 = 0
- Exemple 3 : 21680 472 est un multiple de 22
- 2 – 1 + 6 – 8 + 0 – 4 + 7 – 2 = 0
Critère de divisibilité par 25 :les deuxchiffres de droite sont 00, 25, 50 ou 75.
- Exemple : 3875est divisible par 25.
Critère de divisibilité par 100 : les deuxchiffres de droite sont 00 (aussi multiples de 2, 5 et 25)
Critère de divisibilité par 125 : les troischiffres de droite sont un multiple de 125, c’est-à-dire 125, 250,375, 500, 625, 750 ou 875.
Critère de divisibilité par 1000 : les troischiffres de droite sont 000 (aussi divisible par 2, 5, 25 et100).
À lire ici : quel est le théorème de Pythagore ?
